文章目录

1. 基础知识：混沌系统，吸引子，相空间1.1 混沌系统1.2 吸引子1.3 相空间

2. 为什么模型的建立和预测要在相空间中进行？2.1 为什么要引入相空间？2.2 相空间带来的好处2.3 解析解和数值解的局限性2.4 以经典的弹簧振子系统为例

3. 为什么要进行相空间重构？4. Takens嵌入定理4.1 Takens嵌入定理的核心要点4.2 Takens嵌入实现4.3嵌入维度的确定4.3.1 False Nearest Neighbors (FNN) 方法4.3.2 Lyapunov 指数法4.3.3 自适应时间延迟法4.3.4 自相关法（Autocorrelation Method）4.3.5 Cao's 方法4.3.6 点的分布法

4.4 延迟时间（τ）的选择方法4.4.1 自相关法4.4.2 平均互信息法（Average Mutual Information, AMI）4.4.3 平均时间尺度法4.4.4 阶段空间法4.4.5 FNN法4.4.6 Akaike Information Criterion (AIC) 或 Bayesian Information Criterion (BIC)4.4.7 不确定性法

1. 基础知识：混沌系统，吸引子，相空间

1.1 混沌系统

混沌系统是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动，其行为表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。判断一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。系统只要有一个正值就会出现混沌运动。

1.2 吸引子

吸引子是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。 例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有复杂的拉伸、扭曲的结构。奇异吸引子是系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物，它具有自相似性，具有分形结构。从整体上讲系统是稳定的即吸引子外的一切运动最后都要收敛到吸引子上。但就局部来说吸引子内的运动又是不稳定的，即相邻运动轨道要相互排斥而按指数型分离。

1.3 相空间

相空间也可称为状态空间。在数学与物理学中，其是用以表示一个系统所有可能状态的空间。系统每个可能的状态都有一个对应的相空间的点。其中，相就是状态的意思。物理学里面，确定状态要用一些量。比方在经典物理里，质点的状态由当前的位置和速度决定，所以相空间由位置和动量构成。考虑到三维空间，坐标和动量均有三个分量，所以质点的一个状态由6个量确定。当然状态不一定非要用坐标和动量。总之你用的量能完全确定状态就可以构成空间。总结：相空间就状态空间，能表示所有状态，由能表示状态的所有变量构成。

相空间理解与可视化实例

有了上述基础知识，解答以下问题：

2. 为什么模型的建立和预测要在相空间中进行？

相空间是描述动态系统所有可能状态的空间，因此它为系统的行为提供了一个全面的框架。在混沌系统中，由于系统的行为高度依赖于初始条件，且呈现出复杂的、难以直观理解的非线性特征，直接观察物理空间中的行为往往无法全面捕捉系统的本质。相空间提供了一种方法，通过将系统的状态变量（如位置、速度等）映射到多维空间，从而揭示出系统的内在结构和运动规律。在相空间中，系统的轨迹反映了其随时间演化的状态变化。

2.1 为什么要引入相空间？

在物理系统中，比如描述物体运动的牛顿第二定律，通常会得到一些二阶的微分方程（涉及到位置和加速度）。如果要完全解出这些方程，计算可能非常复杂，而且也很难从结果中直接看到系统的规律。

但是，如果我们把位置和速度（物体的动量）当作两个独立的变量，系统就变成了两个一阶方程（每个方程只涉及一个变量的变化）。虽然方程数量增加了，但用一阶方程来研究系统，其数学理论和解法已经非常成熟，能帮我们更容易分析系统的行为。

2.2 相空间带来的好处

通过将系统转化为相空间，我们不需要一一计算每个具体的数值解（比如求出物体每一时刻的位置和速度），而是通过几何的角度来理解系统的行为。例如，系统中一些重要的“守恒量”（像能量、动量等）可以告诉我们系统是否稳定，是否存在一些不变的特性。

简单来说，相空间让我们不用去计算复杂的解，而是通过系统的几何结构来看出系统的规律。这对复杂系统特别有用，因为在这些系统中，具体的解可能很难求出来，但它们背后的规律（比如系统是否稳定，是否能重复等）却非常重要。

2.3 解析解和数值解的局限性

我们通常追求系统的解析解（用公式表示），如果得不到，就转而用数值解（通过计算机模拟）。但是对于复杂的系统，这些解并不容易得到，而且即使得到了，可能也很难直接看到系统的规律。

而相空间提供了一种方式，让我们通过系统的结构和性质来理解它，而不是依赖于复杂的公式或计算。比如，我们更关心的是系统的稳定性或者能量是否守恒，而不是每一时刻具体的位置和速度。这些规律可以通过相空间直接看出来。

2.4 以经典的弹簧振子系统为例

弹簧振子系统

假设有一个物体通过弹簧连接到墙壁上，物体可以在弹簧的作用下来回摆动。这是一个典型的物理系统，我们可以通过牛顿第二定律来描述它的运动。

（1）运动方程（经典的二阶微分方程） 物体的运动可以用二阶常微分方程描述： 其中：m是物体的质量，x是物体的位置， k是弹簧的弹性常数。这个方程描述了物体在弹簧力作用下的运动。

（2）相空间分析的引入 如果我们直接解这个二阶微分方程，可以得到物体随时间变化的位置 x(t) 和速度 v(t)=dx/dt​。然而，这个解的过程可能很复杂，尤其是对于更复杂的系统。

引入相空间：为了更简单地分析这个系统，我们可以将位置 x 和速度 v 作为两个独立的变量来研究。这样，我们可以将原来的二阶方程转化为一个一阶常微分方程组： 第一个方程：dx/dt=v（位置变化率等于速度） 第二个方程如下， 速度变化率与弹簧力成正比：这就变成了两个一阶方程，描述了系统在相空间中的演化。

（3）在相空间中的表示： 我们可以将系统的状态表示为一个点 (x,v)，即在相空间中每个点对应物体的一个状态（位置和速度）。 系统的状态随着时间变化，会在相空间中画出一条轨迹。这条轨迹表示物体随时间变化的运动规律。

（4）稳定性和规律的揭示： 在相空间中，这个弹簧振子的轨迹是一个闭合的椭圆轨迹。这意味着物体会做周期性的往复运动。 通过相空间分析，我们可以直接看到系统的稳定性：轨迹在一个固定的区域内循环，表明系统是稳定的，不会随着时间的推移变得无穷大或不规则。 另外，通过分析相空间中的轨迹形状，我们可以发现系统是守恒的，即能量在整个过程中是恒定的。这个结论可以通过观察相空间中的轨迹获得，而不需要直接解方程。

关键点

不需要解方程：我们通过相空间分析，直接看到了系统的轨迹是闭合的，系统做的是周期性运动，这就是系统的稳定性。几何性质揭示规律：通过相空间中的几何结构，我们可以直接看到系统的规律（周期性运动、稳定性等），而不需要计算每一时刻的位置和速度。守恒量：通过相空间的分析，我们可以知道这个系统的总能量是守恒的，而这也是通过几何性质来理解的。

总结

通过弹簧振子这个简单的例子，我们展示了如何通过相空间分析来理解系统的稳定性、周期性和守恒量，而不需要具体求解复杂的二阶方程。相空间提供了一种更直观、更高效的方法，让我们从系统的几何结构中直接发现它的重要特性。

3. 为什么要进行相空间重构？

相空间重构的原因主要是因为很多实际的复杂系统（尤其是混沌系统）我们无法直接获取系统的完整状态，而只能通过时间序列（例如观测到的某一变量随时间变化的数据）来分析系统的行为。相空间重构是一种从时间序列数据中恢复原始系统相空间结构的技术，它能够帮助我们揭示系统的本质特性，即使我们只能获取系统的部分信息。 为什么要进行相空间重构？

我们需要相空间重构的原因可以通过以下几个方面来解释：

（1）实际情况中的数据限制

在很多复杂系统中，我们只能测量系统的部分状态变量，而无法获得系统的完整状态。例如，在气象学中，可能只能测量温度、湿度、气压等少量变量，但无法获取系统的所有自由度。在这种情况下，直接分析这些部分数据无法全面理解系统的动态行为。

通过相空间重构，我们可以使用仅有的时间序列（比如温度随时间变化的数据），通过一定的数学方法，将这个一维的数据嵌入到一个多维的相空间中，从而重建出整个系统的动态结构。这样就能够间接推测系统的其它重要行为特征。

（2） 揭示系统的隐藏结构

在很多情况下，系统的行为可能是混沌的，即系统在长期演化中表现出极其复杂、不可预测的行为。但是，混沌系统通常具有内在的规律性，这些规律性在相空间中往往是可以发现的。

通过相空间重构，可以将时间序列转换为多维相空间中的轨迹，从而使得系统的规律性（比如周期性、稳定性、吸引子等）变得更加明显。比如，系统的轨迹在相空间中可能会收敛到一个固定的点（吸引子），或者沿着某种规律性的路径运动。即使我们只能获得部分数据，重构后的相空间也能够揭示出系统的本质规律。

（3）避免数值解的困难

对于复杂的非线性动力学系统，很多时候我们无法通过传统的数值方法得到精确的解析解或数值解。即使能够得到数值解，系统的复杂性和混沌行为使得解的直观理解变得困难。

相空间重构通过将系统状态转化为几何图形的方式，可以让我们从几何性质的角度理解系统的长期行为，例如稳定性、周期性、是否存在周期吸引子等，而不需要进行复杂的数值计算。通过分析相空间中的轨迹和吸引子，我们可以直接看出系统是否存在周期性行为、混沌行为或稳定的固定点。

（4）运用Takens嵌入定理恢复系统

相空间重构的基础是Takens嵌入定理，它表明：只要时间序列足够长，并且通过合适的延迟嵌入方法，就可以从部分观测数据中重建出整个系统的相空间。具体来说，Takens定理指出，通过选择合适的时间延迟和嵌入维度，即使我们只有单个观测变量（比如时间序列中的一个数据），也可以在多维相空间中重构出系统的真实动态结构。

这个定理为相空间重构提供了理论依据，使得我们可以通过时间序列间接恢复出系统的全貌，进一步揭示出其内在规律。

（5）发现复杂系统的本质特性

很多复杂的系统（如气象、流体力学、生态系统等）都具有非线性和多自由度的动态特性，这些特性通过传统的分析方法难以直接理解。而通过相空间重构，可以：

揭示系统是否是混沌的：比如，看相空间中的轨迹是否表现为随机分布或呈现出某种结构（如吸引子）。

分析系统的稳定性和周期性：在相空间中，系统轨迹是否趋向某个固定点、周期轨道或复杂的吸引子。

估计系统的长期行为：即使我们无法精确预测系统的未来状态，通过相空间重构，我们可以了解系统的长期趋势和可能的状态范围。

举个实际例子：

假设我们有一个只有温度数据的时间序列（一个单变量数据）。我们希望分析这个温度序列是否反映了某个复杂的气候系统的行为。由于我们只能测量温度，直接用温度数据来分析气候的长期演化（如气候变化的模式）是很困难的。

通过相空间重构，我们可以用时间序列的延迟数据（例如，温度数据的延迟版本）来构建一个多维的相空间。这个多维空间中的轨迹可能揭示出温度变化的周期性，或者显示出复杂的非线性动力学特性，如混沌行为。通过这种方式，我们能够分析气候系统的长期稳定性、变化趋势，甚至发现隐藏的气候模式。

总结：

相空间重构的目的是从有限的观测数据中恢复复杂系统的动态行为，揭示系统的几何性质和长期演化规律。它帮助我们在无法直接获得完整状态的情况下，通过时间序列数据重建出系统的相空间，从而发现系统的稳定性、周期性、混沌行为等重要特性。

4. Takens嵌入定理

时间延迟嵌入定理（Time-Delay Embedding Theorem），也称为Takens嵌入定理，由荷兰数学家Floris Takens在1981年提出。Takens嵌入定理提供了相空间重构的数学基础。该定理表明，只要满足一定条件，通过一维时间序列的延迟嵌入方法，可以重建出动态系统的相空间。具体来说，定理指出，如果一个系统的动力学行为是由一组状态变量决定的，则只要时间序列足够长，可以通过选择适当的延迟时间和嵌入维度，重构出与原系统相等的相空间结构。这为从实际数据中重建混沌系统的相空间提供了理论保证。

4.1 Takens嵌入定理的核心要点

选择合适的延迟时间（通常为时间序列的自相关函数为零的点）；选择合适的嵌入维度（通常通过对系统的近邻点进行检验，确保足够维度使得重构空间中的点不重合）；重构后的高维空间能够保留原系统的动力学特征，便于分析系统的混沌行为。

4.2 Takens嵌入实现

通过相空间重构，混沌系统的轨迹可以通过一个或多个变量的延迟来表示。比如，假设我们有一个时间序列x(t)，则可以通过延迟嵌入生成一个新的相空间表示： 其中，τ是延迟时间，m是嵌入维度。通过这种方式，我们可以在高维空间中“重构”出原本难以直接观察到的系统动态。

通过这种方法，混沌系统的运动轨迹会在相空间中呈现出吸引子的形态，帮助我们分析系统的稳定性、周期性或无序性，并进一步进行预测和控制。

总结

相空间 ：提供了描述复杂系统的结构化方式，尤其适用于混沌系统。相空间重构 ：通过对时间序列数据的延迟嵌入，能够恢复系统的相空间，进而揭示系统的动力学行为。Takens嵌入定理 ：为这一过程提供了理论基础，证明了通过时间延迟可以有效重建动态系统的相空间。

4.3嵌入维度的确定

在相空间重构的过程中，选择合适的嵌入维数 d 和延迟时间 τ 是十分重要的。从Takens嵌入定理分析可知，如关联维数、Lyapunov指数等这些几何不变量具有吸引子的几何性质，当维数d大于最小嵌入维数的时候，几何结构已经被完全打开，此时这些几何不变量与嵌入的维数无关。基于此理论，可以选择吸引子的几何不变量停止变化时的嵌入维数d作为重构的相空间维数。以下是目前常用的确定相空间重构关键参数嵌入维数d的几种方法：

4.3.1 False Nearest Neighbors (FNN) 方法

原理：FNN 方法通过观察相空间中的点与其邻近点之间的距离变化，来判断嵌入维数是否足够。基本思路是通过寻找在低维相空间中看似相邻但在高维相空间中并不相邻的点。如果在重构过程中出现“假近邻”（即，原本应该远离的点被错误地视为邻近），则说明当前的重构维度还不够。

步骤：

从时间序列中选择一个初始的嵌入维数 d。计算每个点及其邻近点的距离。增加嵌入维数，直至大部分的“假邻居”点的距离保持稳定。

参考文献：Kennel, Matthew B., Reggie Brown, and Henry DI Abarbanel. “Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction.” Physical review A 45.6 (1992): 3403.

4.3.2 Lyapunov 指数法

原理：通过计算Lyapunov指数，分析相空间中轨迹的发散速度，间接确定嵌入维数。若嵌入维数不够，Lyapunov指数可能会变得不准确或不稳定。

步骤：

从时间序列中提取相空间。计算Lyapunov指数。增加嵌入维数，直到Lyapunov指数稳定为止。

参考文献：Wolf, Alan, et al. “Determining Lyapunov exponents from a time series.” Physica D: nonlinear phenomena 16.3 (1985): 285-317.

4.3.3 自适应时间延迟法

原理：通过计算自适应时间延迟中轨迹的变化情况来确定嵌入维数。适用于处理时间序列中一些非线性系统。

步骤：

选择初始维数。计算不同维数下的相空间结构的稳定性，选择稳定且有用的嵌入维数。

参考文献：

4.3.4 自相关法（Autocorrelation Method）

原理：自相关法通过检测时间序列中各点之间的相关性来决定嵌入维数。在高维空间中，较低的维度可能会产生较大的相关性，选择较高的维度时，系统的行为会逐渐趋于稳定。

步骤：

计算自相关函数。根据自相关的衰减情况选择合适的嵌入维数。

4.3.5 Cao’s 方法

原理：Cao’s 方法是一种基于“相对时间尺度”的计算方法，选择嵌入维数 dd 使得相空间中计算得到的轨迹重叠性最小，即让各个轨迹尽可能地分开。

步骤：

计算不同维数下轨迹的重叠性。选择使轨迹重叠性最小的维数作为最佳嵌入维数。

参考文献：Cao, Liangyue. “Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series.” Physica D: Nonlinear Phenomena 110.1-2 (1997): 43-50.

4.3.6 点的分布法

原理：通过计算相空间中点的分布密度来判断嵌入维数。对于较小的维度，点的分布会过于密集，增加维度后，点的分布变得更加均匀。 步骤：

根据相空间中点的密度变化确定维数。观察系统点的分布，选择使点分布合理的维数。

4.4 延迟时间（τ）的选择方法

4.4.1 自相关法

原理：自相关法通过计算时间序列与其延迟版本之间的相关性，选择一个延迟时间 τ，使得时间序列中不同时间点之间的相关性逐渐减小，从而获得合适的时间间隔。

步骤：

计算自相关函数。选择第一个接近零的自相关点作为延迟时间 τ。

4.4.2 平均互信息法（Average Mutual Information, AMI）

原理：平均互信息法是通过计算时间序列与其延迟版本之间的互信息量，选择延迟时间 ττ，使得互信息达到最小值。互信息度量的是两个时间点之间的依赖关系，较小的互信息表明这两个点的信息是独立的。

步骤：

计算不同延迟时间下的互信息函数。选择延迟时间 ττ，使得互信息最小。

参考文献：Fraser, Andrew M., and Harry L. Swinney. “Independent coordinates for strange attractors from mutual information.” Physical review A 33.2 (1986): 1134.

4.4.3 平均时间尺度法

原理：通过计算时间序列中的典型时间尺度，选择合适的延迟时间来重建相空间。 步骤：

计算时间序列中的周期性或典型时间尺度。基于时间尺度的选择来确定延迟时间。

参考文献：Strogatz, Steven. “Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences.” Physics Today 56.1 (2003): 47-47.

4.4.4 阶段空间法

原理：通过分析相空间中的相邻点之间的相位差来选择延迟时间。选择延迟时间时，系统的轨迹会在不同维度之间表现出较好的分离，避免相邻点之间的冗余性。

步骤：

计算相空间中的相位差。选择使得相位差达到最大值的延迟时间。

4.4.5 FNN法

原理：FNN法不仅用来确定嵌入维数，也能用来估计延迟时间。通过逐渐增大延迟时间，观察“假邻居”的数量变化，选择延迟时间 ττ，使得系统的重构效果最优化。

步骤：

增加延迟时间，计算相邻点之间的距离。选择一个合适的延迟时间，使得FNN值最小。

参考文献：Kennel, Matthew B., Reggie Brown, and Henry DI Abarbanel. “Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction.” Physical review A 45.6 (1992): 3403.

4.4.6 Akaike Information Criterion (AIC) 或 Bayesian Information Criterion (BIC)

原理：通过选择最小的AIC或BIC来优化模型的复杂性和准确性，间接推断出合适的延迟时间。该方法通常应用于从时间序列中选择适当的模型，而这些模型参数（如延迟时间）将影响系统的重构。

步骤：

计算不同延迟时间下的AIC或BIC值。选择最小的AIC或BIC值对应的延迟时间。

4.4.7 不确定性法

原理：通过计算系统的长期不确定性，选择一个合适的延迟时间。在相空间中，延迟时间 τ 是保持系统轨迹稳定性的关键，较长的延迟时间可能会导致系统的不稳定性。 步骤：

计算系统的长期不确定性。选择一个延迟时间，使得系统轨迹的长期不确定性最小。

总结：

为了通过相空间重构技术揭示系统的动态行为，嵌入维数 d 和延迟时间 τ 的选择方法多种多样。常见的选择方法包括：

FNN方法、Lyapunov指数法、Cao方法用于确定嵌入维数；自相关法、AMI法、阶段空间法、AIC/BIC法用于选择延迟时间。

这些方法可以单独使用，也可以结合起来使用，以获得更为可靠和准确的参数选择。